Lanchester's Law

란체스터의 법칙이란 군사학과 경영학에 적용되는 일종의 경제 원칙으로서, 수와 질이 전선에 어떻게 영향을 미치느냐에 대해 분석하는 일종의 이론 중 하나인데요.
많은 사람들이 이 이론에서 단순히 병력의 수(자원 투입의 수)가 중요하다고 생각하는 경향이 있으나 이는 오해이며, 여기에서 중요한 핵심은 자원과 역량을 총 집중시켜 공격을 할 수 있는 상황에서 다소간의 전력 차이가 아주 큰 차이를 만들어 낼 수 있다는 것입니다.

여기서 전투는 양자간에 벌어지는 것이고, 설명을 위해 우세한 측을 A, 열세인 측을 B로 설명할게요.


1. 란체스터의 제1법칙(1:1 근접 전투, 전근대 전투)

1:1 근접 전투만 있다고 가정할 경우
각각의 병력이 개개인 단위에서 근접전으로 맞붙게 되므로 각각의 군대가 가진 총 전투력은 단순히 총 병력의 수 x 개개인의 전투력으로 환산이 됩니다.

즉 우세한 팀 A의 병력수 b 단위 전투력 c , 팀 B의 병력수 d 단위 전투력 e, 시간 t라고 할 때
c(b(t) - b(0)) = e(d(t) - d(0)) 이며


팀 B의 전멸상태, 즉 d(t)이 0일때, cb(t) = cb(0) - ed(0) 이 되는 것이지요.


그러나 항상 전 병력이 일렬로 서서 1:1 전투를 수행한다고 가정한 식은 상당히 비현실적이라고 볼 수 있는데요.

실제로는 모든 병력이 일렬로 늘어져서 1:1로 싸우는 게 아니고 소규모의 면 x 면 단위로 맞붙는 경우가 보통이었으므로, 실제 전투에 적용되는 공식은 전투력 = 면에 존재하는 병력 수 x 개개인의 전투력, 병력 단위  = 면에 들어가는 병사의 수로 이루어지게 되요.
이와 같은 접촉면에서의 제한이라는 요인을 최대한 활용하여 불리한 병력비를 극복한 예로는 테르모필레 전투가 있지요.


2. 란체스터의 제2법칙(리베르타의 법칙, 근세이후 원거리 전투)

근대 이후로는 소총과 화약 무기를 이용한 사격전이 주를 이루는 관계로 기존의 냉병기 근접전투 중심이던 전 근대시대 전쟁과는 조금 다른 양상을 띄게 되었는데요. 바로 정면에서 1:1로 맞붙지 않더라도 화력을 한 점으로 집중시킬 수 있다는 점이지요.

따라서 각각의 군대의 총 전투력은 병력의 수^2 x 개개인의 전투력이 됩니다.                             

즉 우세한 팀 A의 병력수 b 단위 전투력 c , 팀 B의 병력수 d 단위 전투력 e, 시간 t라고 할 때
c(b(t)^2 - b(0)^2) = e(d(t)^2 - d(0)^2)이며

팀 B의 전멸상태, 즉 d(t)이 0일때, cb(t)^2 = cb(0)^2 - ed(0)^2 이 되는 것이지요.

리베르타의 법칙에 대한 나무위키의 수식은 조금 잘못되었는데요.
그 이유는 전투력 변수는 여전히 선형이라는 점 때문이며, 미적분 증명 과정에서 양측의 전투력이 상쇄된(즉 동일하다고 가정한) 증명 수식을 멋모르고 그대로 가져다가 썼더군요.

이건 개인적인 사견이지만
한국군이 질을 강화하는 것보다 징병 노예 수준의 병력을 마구잡이로 긁어모아 수만 잔뜩 불리는 데 집착하는 것도 이와 같은 가정이 바탕에 깔려있지 않을까 하는 생각이 들기도 하네요.

이런 종류의 이론적 가정이 대개 그렇지만, 많은 경우 실제 전투에 대입 해 보았을 때 피해량을 정확하게 예측하지 못하였다는 한계점이 있는데요. 그 이유는 군대의 전투력 상수에 대해 정확하게 추론하기 어렵고, 보통 전쟁터에서 전멸당할 때까지 싸우는 게 아니라 대략 15 - 25%정도의 손실을 입으면 패배로 간주하고 후퇴하기 때문에 그렇습니다.


주요 전투에 대한 통계 분석을 해 보면 병력수의 제곱이 아닌 병력수^1.5나 그 이하를 따르는 것으로 흔히 알려 져 있는데요. 산개되어 수십 수백 킬로미터 단위로 전개되는 현대 전선에선, 실질적으로 전체 군대의 화력을 단일 지점으로 집중시키는 것은 불가능하기 때문에 그렇지요.